丛代数理论是年左右由Fomin和Zelevinsky创建的,它是将生成元通过以变异(mutation)递推方法建立的生成关系来生成的交换代数.量子丛代数作为丛代数的量子化,则是非交换代数.创建丛代数理论的原始动机,是利用组合的方式去研究量子群和代数群的(对偶)典范基,而典范基与相应的簇上的全正性有关.
Fomin（左）与Zelevinsky(右)
《丛代数理论导引》将介绍丛代数的一些基本理论以及部分专题研究的内容.除了前言外,正文部分共分16章.
丛代数理论导引
李方,*敏著
北京：科学出版社,.3
(现代数学基础丛书;)
ISBN-7-03--2
责任编辑:胡庆家，李萍
从前面对丛代数的概述,可见丛代数与数学的许多领域都有交叉结合,所以涉及的方法非常多.其中许多涉及的领域和方法,不是我们熟悉和擅长的,所以暂时没有写入本书.也有一些方面,虽然我们已经开展了比较成熟的工作(比如丛代数的多面体方法),但如要完整写下来会占用太多的篇幅,所以这次就不涉及了.
目前我们已经写入书中的内容已经涉及了不少方面,各章节先后顺序的安排,充分考虑了内容上的逻辑关系,知识点的先后引用的需要,等等.但它们的方法各有特点,是先后交错的.下面我们来梳理一下,帮助读者从方法和特点上有个更好的理解.
本书作者：李方（左）与*敏（右）
这个理论被称为“丛代数”,当然它首先是作为结合代数领域的一个方向,所以代数方法的内容涉及相对较多,这方面包括第1,4,10,11章.其中,第1章就是定义丛代数作为有理函数域上的子代数；而量子丛代数作为量子环面代数的子代数,是丛代数的量子化.第4章研究的是丛代数之间的丛同态,从而引出了丛子结构和商结构.第10,11章的重点在于考虑丛代数的线性无关集和基的问题,以及它作为Laurent多项式的真Laurent单项式性质及其组合性质——分母向量的正性——的刻画.
就像在第1章引入丛代数时看到的,我们首先给出了丛模式,并且说明了丛模式和丛代数之间可以相互决定.而丛模式其实是由一个正则树决定的组合结构.这就决定了,丛代数的研究中的另一个重要方法是组合方法.这在我们的书中也充分地体现了出来,涉及组合方法的内容包括第2,3,6,8章.其中,第2,3章讨论了丛代数的种子组成的换位图和换位矩阵的基本性质,然后在第8章,利用换位矩阵对应的Cartan矩阵的Coxeter图的分类或换位矩阵对应的赋权箭图的分类,分别通过对换位图和换位矩阵在变异换位下的有限性的刻画,给出了有限型和有限变异型丛代数；第6章体现了丛代数研究的独特性,即通过几类重要的组合参数,包括d-向量、c-向量、g-向量和F-多项式等及其相互的关系,对丛变量和种子等丛代数的关键架构,给出了描述.d-向量的正性则在第10章中,利用代数方法和散射图理论给出了证明.
第5章介绍的覆盖理论,用组合方法从局部有限箭图到(无圈)符号斜对称矩阵,建立了折叠关系.关键在于,折叠可以延拓为从斜对称丛代数到符号斜对称丛代数的代数满同态,从而将斜对称丛代数的代数性质(比如丛变量的正性)传递到符号斜对称丛代数.所以这一章可以看作为组合方法和代数方法的融合.
第10章的丛代数结构唯一性定理,是一个很基本的结论,证明了由丛变量集给出丛集的唯一性,它事实上说明了丛代数的代数结构与组合结构是相互唯一决定的.这个结论说明了组合方法和代数方法对于丛代数的同等重要性.丛代数与拓扑,具体地说,与黎曼面的关系,是非常深刻的一个方面,这就是书中的第7章的内容.这里给出的黎曼面及其三角剖分构造的丛代数,可以给出第8章中的有限变异型丛代数在斜对称情形的完整刻画.这一方法,给了我们对丛代数的种子变异的新认识,就是对应三角剖分之间的翻转,这对人们在各种现象中寻找、实现丛结构是一个启示.再借助于蛇图及其完美匹配,可以对来自曲面的丛代数的丛变量的Laurent多项式展开给出具体的表达.从黎曼面出发,利用曲面上的本质闭环及自相交曲线的光滑化给出的纠结关系,在第11章中,给出了来自曲面的丛代数的所谓圈镯基、环链基和链带基,这是代数性质的拓扑实现的一个实例.
第9章介绍散射图理论,它是几何中与镜面对称理论相关的重要方法.由于丛代数的丛变量的G-矩阵可以构成散射图的可达胞腔,从而散射图理论被用于丛代数的研究,并发挥了重要的作用.本书中给出的两个实例就是：在第10章用散射图方法证明了d-向量的正性,及在第11章用可斜对称化丛代数的散射图的Theta函数,给出了丛代数的Theta基.
丛代数与表示论的关系,是通过丛代数的范畴化来实现的.但本书不涉及丛代数的张量范畴化.第13章我们介绍了丛代数的加法范畴化,即通过丛倾斜对象的变异来实现的丛结构.这一关系,不但推动了结合代数表示论的发展,反过来也可以帮助证明丛代数本身的一些重要性质的研究,比如这一章中给出的g-向量符号一致性和F-多项式常数项为1的证明.
量子丛代数的引入,原本就是希望实现各类量子群上的丛结构.但遗憾的是,除了最简单的情况,比如第1章中的量子矩阵代数C[SLq(2)],其本身上有丛结构外,一般的量子群只能通过寻找其上的部分结构或特别构作来实现丛结构.我们在第12章中给出的量子重Bruhat胞腔上的量子丛结构就是这样的情况.
量子群与丛结构的另一联系,是作为丛代数的张量范畴化理论的一部分,通过量子群上的表示范畴的张量范畴结构来实现的.这个专题本书没有介绍.丛代数的丛变量和它的系数之间,具有某种意义下的“对偶”性.比如,第1章和第14章分别引入的Y-模式和bY-模式及其变异,可以在某些情况下去理解它们与对应的丛模式及其变异的“对偶”意义.我们在第14章对Y-模式和bY-模式的关系有解释,并且用投射线构形给出了bY-模式的实现.这为丛代数理论与凝聚层理论的联系开出了一个窗口.
正如席南华院士在给本书写的“序言”中所说,丛代数产生的动机,是研究李群坐标代数或量子包络代数的对偶典范基,以此为典范基的计算提供帮助.本书的第15章介绍了丛代数的另一重要动机,就是用丛代数研究矩阵的全正性.随着丛变量Laurent展开的正性获得完全的证明(见第5章介绍),现在丛代数方法与表示论中的正性问题的联系,正变得愈发密切.
本书的最后一章,即第16章,介绍了丛代数用于数论中丢番图方程和Somos序列的研究,以及给Fermat数提供了一个独特的理解.从这部分内容,结合我们平时对这方面的研究,可以发现,丛代数与数论的结合是很自然的,取决于对丛变量(对应方程的未知元)的变异公式中所蕴含的对称性及以此在群作用下的不变性的理解.我们相信,随着对这一方法理解的深入,这两个理论的结合将产生新的研究增长点.
席南华院士序
量子群的出现对数学物理、李理论、低维拓扑等都有重大的意义.在李理论中,由于量子群的出现,Lusztig才能发现典范基.典范基有非常好的表示论性质,与几何有深刻的联系,现在已是一个基本的研究对象.遗憾的是,量子群的典范基很难计算.
年左右,Fomin和Zelevinsky试图考虑一种对偶的典范基并希望籍此理解和计算量子群的典范基.在这个过程中丛代数诞生了.这类代数是交换代数,初看上去颇为初等,内涵似乎也不丰富,但事情的发展出人意料,丛代数显示了茁壮的生命力,发展强劲,在很多的分支中都能看到丛代数的结构.把丛代数量子化,则得到量子丛代数,是一类非交换代数,同样是很有意思的.
到现在,已经有大量的研究工作专注于丛代数和量子丛代数及其应用,从而有关的文献数量很大.李方教授和*敏博士的这本书系统整理了丛代数(包括其量子化)的基本理论,其中也包含了李方教授和他的学生的一些研究工作,内容丰富.就我所知,这是国内第一本丛代数方面的专著,将会为国内的学者和学生在了解和学习丛代数方面带来很大的方便.我们欢迎这本书的面世.
内容简介
本书介绍丛代数研究的理论基础和部分专题,其中,基础部分,着重从代数方法和组合方法两方面介绍丛代数的结构;专题部分,介绍丛代数理论与数学各个方面(包括拓扑、几何、表示论、数论、矩阵论等)的联系.在一些专题的介绍里,指出了目前理论的研究进展和面临的问题.
本书可作为高等学校数学类高年级本科生和研究生的教学参考书,也可供数学专业研究人员和其他相关专业有兴趣者参考.
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（本期编辑：王芳）
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